polyhedral cycles explanations

polyedrische Zyklen

ein polyedrischer zyklus ist ein geschlossener kantenpfad auf einem polyeder, der jeden eckpunkt genau einmal durchläuft und dann zum ausgangspunkt zurückkehrt. er wird nach seinem entdecker, dem irischen astronomen und mathematiker sir william rowan hamilton (1805 – 1865), hamilton path bzw. hamilton circuit genannt. die bestimmung eines solchen zyklus ist ein schwer zu lösendes problem, weil keine lösungsalgorithmen existieren. der einzig bekannte weg herauszufinden, ob es einen hamiltonzyklus auf einem polyeder gibt, ist eine suche nach dem prinzip trial and error. polyedrische zyklen lassen sich auf allen platonischen und archimedischen körpern finden. ist ein solcher zyklus gefunden, lässt er sich auf verschiedene arten darstellen. mit linearem material wie draht oder rohr kann der zyklus entsprechend der kantenfolge auf dem polyeder als dreidimensionale endlosschleife nachgebaut werden. eine andere art der darstellung ergibt sich, wenn man den zyklus als trennlinie sieht, durch die die oberfläche des polyeders in zwei teile zerfällt. macht man einen teil durch material sichtbar und betrachtet den anderen als imaginäre ergänzung des ganzen, dann stellt die grenze zwischen beiden teilen den vorgegebenen zyklus dar.

polyhedral cycles

a polyhedral cycle is a closed edge path on a polyhedron that runs through all the vertices no more than once before returning to its starting point. It is known as a hamilton path, or hamilton circuit, after its discoverer sir william rowan hamilton (1805-1865), an irish astronomer and mathematician. it is extremely difficult to determine the course of such a cycle, as algorithms for this task do not exist. there is only one way to establish the presence of a hamilton cycle on a polyhedron, and that is by trial and error. polyhedral cycles can be found on all platonic and archimedean solids. once such a cycle has been confirmed in theory, it can be visualised in various ways. By means of linear material such as wire or tubing, it is possible to represent the edge path as an infinite three-dimensional loop that corresponds to the sequence on the polyhedron. alternatively, the cycle may be regarded as a boundary that divides the surface of the polyhedron into two sections. if one part is rendered visible in material form, and the other is regarded as an imaginary supplement of the whole, then the border between the two sections represents the cycle as specified.